Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
Écrire la négation des propositions suivantes.
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^3 \ge x)\) (2 pts)
- \((\exists n\in\mathbb{N})\;(n^2 + n + 41 \text{ n'est pas premier})\) (1{,}5 pt)
- \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;(xy = 1)\) (1{,}5 pt)
Correction
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(x^3 < x)\).
- \((\forall n\in\mathbb{N})\;(n^2 + n + 41 \text{ est premier})\).
- \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\;(xy \ne 1)\).
Exercice 2 (5 pts)
- Dresser la table de vérité de \((P \text{ et } Q) \Rightarrow P\). (3 pts)
- Que peut-on en conclure ? (2 pts)
Correction
1.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \text{ et } Q\) | \((P \text{ et } Q) \Rightarrow P\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
- La proposition est vraie dans tous les cas : c'est une tautologie.
Exercice 3 (5 pts)
- Montrer par contraposée que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), si \(n^2\) est impair alors \(n\) est impair. (3 pts)
- En déduire la nature de \(n\) lorsque \(n^2 = 49\). (2 pts)
Correction
- Contraposée : si \(n\) est pair alors \(n^2\) est pair. Si \(n = 2k\), alors \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\) est pair. La contraposée est vraie, donc l'implication aussi.
- \(49\) est impair, donc \(n = 7\) est impair.
Exercice 4 (5 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) :
\[1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
Correction
Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(\dfrac{1\times2\times3}{6} = 1 = 1^2\). Hérédité. Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors
\[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left[n(2n+1) + 6(n+1)\right]}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}\]
et \(2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)\), d'où la formule au rang \(n+1\). Conclusion. La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).