Série 2 — factorisations en deux étapes, équations et démonstrations.
Exercice 1
Factoriser \(A = 3x^2 - 48\).
Correction
\(A = 3(x^2 - 16) = 3(x+4)(x-4)\).
Exercice 2
Factoriser \(B = (x+3)^2 - 16\).
Correction
\(B = \big((x+3)+4\big)\big((x+3)-4\big) = (x+7)(x-1)\).
Exercice 3
Factoriser \(C = 4x^2 - 9 + (2x-3)(x+5)\).
Correction
\(4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)\), donc \(C = (2x-3)\big((2x+3)+(x+5)\big) = (2x-3)(3x+8)\).
Exercice 4
Soit \(D = (2x+1)^2 - (x-3)^2\).
- Développer et réduire \(D\).
- Factoriser \(D\) avec une identité.
Correction
- \(D = (4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 6x + 9) = 3x^2 + 10x - 8\).
- \(D = \big((2x+1)+(x-3)\big)\big((2x+1)-(x-3)\big) = (3x-2)(x+4)\).
Exercice 5
Résoudre : \(9x^2 - 16 = 0\), puis \((x+5)^2 = 0\).
Correction
\((3x+4)(3x-4) = 0\) donne \(x = -\dfrac43\) ou \(x = \dfrac43\). Puis \(x = -5\) (solution double).
Exercice 6
Montrer que pour tout nombre \(x\), l'expression \(E = (x+3)^2 - (x+1)(x+5)\) ne dépend pas de \(x\).
Correction
\(E = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 + 6x + 5) = 4\) : l'expression vaut toujours \(4\), quelle que soit la valeur de \(x\).
Exercice 7
Un carré de côté \(x\) voit son côté augmenter de \(5\) cm.
- Exprimer l'aire du nouveau carré sous forme développée.
- De combien l'aire a-t-elle augmenté ?
Correction
- \((x+5)^2 = x^2 + 10x + 25\).
- L'augmentation est \(10x + 25\) cm².