L'essentiel en une page
| Connecteur | Valeur de vérité |
|---|---|
| \(\overline{P}\) | contraire de \(P\) |
| \(P\) et \(Q\) | vraie si les deux le sont |
| \(P\) ou \(Q\) | vraie si au moins une l'est |
| \(P \Rightarrow Q\) | fausse seulement si \(P\) vraie et \(Q\) fausse |
| \(P \Leftrightarrow Q\) | vraie si même valeur |
Équivalences utiles : \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \(\overline{P}\) ou \(Q\), et à \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\) (contraposée).
Négation : \(\overline{P \Rightarrow Q}\) s'écrit « \(P\) et \(\overline{Q}\) ».
Quantificateurs : \(\overline{(\forall x)P(x)} = (\exists x)\overline{P(x)}\) et \(\overline{(\exists x)P(x)} = (\forall x)\overline{P(x)}\) ; l'ordre des quantificateurs est conservé.
| Raisonnement | Quand |
|---|---|
| Direct | enchaînement d'implications |
| Contraposée | l'hypothèse est difficile à exploiter |
| Absurde | montrer une impossibilité |
| Contre-exemple | réfuter un « pour tout » |
| Disjonction des cas | pair/impair, signe |
| Récurrence | propriété sur tout \(n\) |
Ce que je dois savoir faire
- Nier une proposition quantifiée, même à deux quantificateurs.
- Dresser et exploiter une table de vérité.
- Rédiger une contraposée, un raisonnement par l'absurde, une récurrence.
- Distinguer implication et équivalence.
Les pièges à éviter
- La négation d'une implication n'est pas une implication.
- \((\forall x)(\exists y)\) et \((\exists y)(\forall x)\) sont différents.
- Une implication vraie n'a pas forcément une réciproque vraie.
- Sans initialisation, une récurrence ne prouve rien.
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Négation de \((\exists x\in\mathbb{R})(x^2 < 0)\) ? Contraposée de « \(n\) pair \(\Rightarrow n^2\) pair » ? \(P \Rightarrow Q\) s'écrit aussi… ?
Réponses
\((\forall x\in\mathbb{R})(x^2 \ge 0)\) ; « \(n^2\) impair \(\Rightarrow n\) impair » ; \(\overline{P}\) ou \(Q\).