Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
Écrire la négation de :
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 \ge 2x - 1)\) (2 pts)
- \((\exists n\in\mathbb{N})\;(2^n > n^2)\) (1{,}5 pt)
- \((\forall x > 0)(\exists n\in\mathbb{N})\;\left(\dfrac1n < x\right)\) (1{,}5 pt)
Correction
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(x^2 < 2x - 1)\).
- \((\forall n\in\mathbb{N})\;(2^n \le n^2)\).
- \((\exists x > 0)(\forall n\in\mathbb{N})\;\left(\dfrac1n \ge x\right)\).
Exercice 2 (5 pts)
- Dresser la table de vérité de \((\overline{P} \text{ ou } Q)\). (3 pts)
- Comparer avec celle de \(P \Rightarrow Q\) et conclure. (2 pts)
Correction
1.
| \(P\) | \(Q\) | \(\overline{P}\) | \(\overline{P}\) ou \(Q\) |
|---|---|---|---|
| V | V | F | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | V |
| F | F | V | V |
- La colonne obtenue est identique à celle de \(P \Rightarrow Q\) : les deux propositions sont équivalentes.
Exercice 3 (5 pts)
- Montrer par l'absurde que \(\sqrt3\) est irrationnel. (3 pts)
- En déduire que \(1 + \sqrt3\) est irrationnel. (2 pts)
Correction
- Supposons \(\sqrt3 = \dfrac pq\) irréductible : \(p^2 = 3q^2\) donne \(3\mid p\), puis \(p = 3k\) et \(q^2 = 3k^2\) donne \(3\mid q\) : contradiction.
- Si \(1 + \sqrt3\) était rationnel, alors \(\sqrt3 = (1+\sqrt3) - 1\) serait rationnel (différence de deux rationnels) : contradiction.
Exercice 4 (5 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) :
\[1\times2 + 2\times3 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\]
Correction
Initialisation. \(n = 1\) : \(\dfrac{1\times2\times3}{3} = 2 = 1\times2\). Hérédité. En ajoutant \((n+1)(n+2)\) :
\[\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)\frac{n+3}{3}\]
ce qui est la formule au rang \(n+1\). Conclusion. La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).