Exercice 1
Écrire la négation de :
- \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2 + x + 1 > 0\)
- \(\exists n\in\mathbb{N},\ n^2 = 2n\)
- \(\forall x\in\mathbb{R},\ (x > 1\Rightarrow x^2 > 1)\)
Correction
- \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2 + x + 1\le0\).
- \(\forall n\in\mathbb{N},\ n^2\neq2n\).
- \(\exists x\in\mathbb{R},\ x > 1\) et \(x^2\le1\).
Exercice 2
Montrer que pour tous réels \(a\), \(b\) : \(a^2 + b^2\ge2ab\).
Correction
\(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2\ge0\).
Exercice 3
Montrer par contraposée : pour \(x\in\mathbb{R}\), si \(x^2 - 3x + 2\neq0\) alors \(x\neq1\).
Correction
Contraposée : si \(x = 1\), alors \(x^2 - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\). Donc la proposition est vraie.
Exercice 4
Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(|x - 1| + |x + 1|\ge2\).
Correction
Inégalité triangulaire : \(2 = |(x + 1) - (x - 1)|\le|x + 1| + |x - 1|\).
Exercice 5
Montrer par récurrence que pour tout \(n\ge1\) : \(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1\).
Correction
\(n = 1\) : \(1 = 2 - 1\). Hérédité : \((2^n - 1) + 2^n = 2^{n+1} - 1\).
Exercice 6
La proposition « \(\forall n\in\mathbb{N},\ n^2 + n + 41\) est premier » est-elle vraie ?
Correction
Non. Contre-exemple : \(n = 40\) donne \(1600 + 40 + 41 = 1681 = 41^2\).