Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Soit \(P\) : « \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ x + y = 0\) » et \(Q\) : « \(\exists y\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ x + y = 0\) ».
- Écrire \(\overline{P}\) et \(\overline{Q}\). (2 pts)
- Déterminer la valeur de vérité de \(P\) et de \(Q\). Justifier. (4 pts)
Correction
- \(\overline{P}\) : \(\exists x,\ \forall y,\ x + y\neq0\). \(\overline{Q}\) : \(\forall y,\ \exists x,\ x + y\neq0\).
- \(P\) vraie (prendre \(y = -x\)). \(Q\) fausse : pour un \(y\) donné, \(x = 1 - y\) donne \(x + y = 1\neq0\).
Exercice 2 (7 pts)
- Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(x + \frac1x\ge2\). (3 pts)
- Montrer par l'absurde que si \(x > 0\) et \(x\neq1\), alors \(x + \frac1x\neq2\). (4 pts)
Correction
- \(x + \frac1x - 2 = \frac{(x - 1)^2}{x}\ge0\).
- Si \(x + \frac1x = 2\), alors \((x - 1)^2 = 0\), donc \(x = 1\) : contradiction.
Exercice 3 (7 pts)
Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(4^n - 1\) est divisible par \(3\).
Correction
\(n = 0\) : \(0\), divisible par \(3\). Si \(4^n - 1 = 3k\), alors \(4^{n+1} - 1 = 4(3k + 1) - 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)\).