L'essentiel en une page
| Connecteur | Vraie si… |
|---|---|
| \(\overline{P}\) | \(P\) est fausse |
| \(P\) et \(Q\) | les deux sont vraies |
| \(P\) ou \(Q\) | au moins une est vraie |
| \(P \Rightarrow Q\) | fausse seulement si \(P\) vraie, \(Q\) fausse |
| \(P \Leftrightarrow Q\) | \((P\Rightarrow Q)\) et \((Q\Rightarrow P)\) |
De Morgan : \(\overline{P \text{ et } Q} = \overline{P}\) ou \(\overline{Q}\) · \(\overline{P \text{ ou } Q} = \overline{P}\) et \(\overline{Q}\).
Négation d'une implication : \(P\) et \(\overline{Q}\). · Contraposée : \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\).
Quantificateurs : on échange chaque \(\forall\) et chaque \(\exists\) en gardant l'ordre, puis on nie la propriété.
| Raisonnement | Structure |
|---|---|
| Contraposée | prouver \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\) |
| Absurde | supposer \(\overline{P}\), aboutir à une contradiction |
| Contre-exemple | un seul suffit pour réfuter |
| Disjonction des cas | partition de l'ensemble d'étude |
| Récurrence | initialisation, hérédité, conclusion |
| Équivalence | double implication ou chaîne d'équivalences |
Ce que je dois savoir faire
- Nier une proposition à plusieurs quantificateurs (définition de limite).
- Rédiger une démonstration par double implication.
- Mener une récurrence avec une inégalité.
- Démontrer une inégalité par passage au carré.
Les pièges à éviter
- \((\forall x)(\exists y)\) et \((\exists y)(\forall x)\) ne sont pas interchangeables.
- Une chaîne d'équivalences doit être valide dans les deux sens.
- Élever au carré n'est licite que pour des quantités positives.
- Vérifier des cas particuliers ne démontre rien.
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Négation de \((\forall x)(x^2 \ge x)\) ? Contraposée de « \(x>2 \Rightarrow x^2>4\) » ? \(\overline{P\Rightarrow Q}\) ? Cas d'égalité dans \(\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert+\lvert b\rvert\) ?
Réponses
\((\exists x)(x^2 < x)\) ; « \(x^2 \le 4 \Rightarrow x \le 2\) » ; \(P\) et \(\overline Q\) ; \(a\) et \(b\) de même signe.