Durée : 1 heure. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
Écrire la négation de :
- \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;(x + y = 1)\) (2{,}5 pts)
- \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\;(xy \ge 0)\) (2{,}5 pts)
Correction
- \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\;(x + y \ne 1)\).
- \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;(xy < 0)\).
Exercice 2 (5 pts)
Montrer que, pour tout réel \(x\), \(x^2 + x + 1 > 0\), par deux méthodes : forme canonique puis discriminant.
Correction
Forme canonique : \(\left(x + \dfrac12\right)^2 + \dfrac34 \ge \dfrac34 > 0\). Discriminant : \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) et \(a = 1 > 0\), donc le trinôme est strictement positif sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 (5 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n^3 - n\) est divisible par \(6\).
Correction
Initialisation. \(n = 0\) : \(0 = 6\times0\). Hérédité. \((n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3n(n+1)\). Le premier terme est divisible par \(6\) par hypothèse, et \(n(n+1)\) est pair, donc \(3n(n+1)\) est divisible par \(6\). Conclusion. La propriété est vraie pour tout \(n\).
Exercice 4 (5 pts)
- Montrer par contraposée que, si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair. (3 pts)
- En déduire que \(\sqrt2\) n'est pas rationnel. (2 pts)
Correction
- Si \(n = 2k\), alors \(n^2 = 4k^2\) est pair. La contraposée est vraie.
- Si \(\sqrt2 = \dfrac pq\) irréductible, alors \(p^2 = 2q^2\) est pair, donc \(p\) est pair ; en reportant, \(q\) est pair aussi : contradiction.