Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
On considère \(P\) : « \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ y^2 = x\) ».
- Écrire la négation de \(P\).
- \(P\) est-elle vraie ? Justifier.
Correction
- \(\overline{P}\) : \(\exists x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ y^2\neq x\).
- \(P\) est fausse : pour \(x = -1\), aucun réel \(y\) ne vérifie \(y^2 = -1\) ; donc \(\overline{P}\) est vraie.
Exercice 2 (7 pts)
- Montrer par contraposée que, pour tous réels \(x, y\) : \(x\neq y \Rightarrow (x + 1)(y - 1)\neq(x - 1)(y + 1)\).
- Montrer par l'absurde que, pour \(n\in\mathbb{N}\) : si \(n^2\) est un multiple de \(3\), alors \(n\) est un multiple de \(3\).
Correction
- Contraposée : \((x + 1)(y - 1) = (x - 1)(y + 1)\Rightarrow x = y\). En développant : \(xy - x + y - 1 = xy + x - y - 1\), donc \(2y = 2x\), \(x = y\).
- Supposons \(n\) non multiple de \(3\) : \(n = 3k + 1\) ou \(n = 3k + 2\). Alors \(n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1\) ou \(n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1\) : dans les deux cas \(n^2\) n'est pas multiple de \(3\). Contradiction.
Exercice 3 (7 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\ge1\) :
\[1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]
Correction
\(n = 1\) : \(1 = \frac{1\times2\times3}{6}\). Si la formule est vraie au rang \(n\) : \(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2 = \frac{(n + 1)\left[n(2n + 1) + 6(n + 1)\right]}{6} = \frac{(n + 1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} = \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}\), c'est la formule au rang \(n + 1\).