Série 2 — équivalences, quantificateurs imbriqués et récurrences fortes.
Exercice 1
Montrer, à l'aide d'une table de vérité, que \(P \Leftrightarrow Q\) équivaut à \((P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow P)\).
Correction
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) | \(Q \Rightarrow P\) | et | \(P \Leftrightarrow Q\) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F | F |
| F | F | V | V | V | V |
Les deux dernières colonnes coïncident.
Exercice 2
Écrire la négation de \((\forall \varepsilon > 0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n \ge N)\;\left(\lvert u_n - \ell\rvert < \varepsilon\right)\).
Correction
\((\exists \varepsilon > 0)(\forall N\in\mathbb{N})(\exists n \ge N)\;\left(\lvert u_n - \ell\rvert \ge \varepsilon\right)\).
Exercice 3
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer que \(\left(a^2 + b^2 = 0\right) \Leftrightarrow (a = 0 \text{ et } b = 0)\).
Correction
\(\Leftarrow\) est immédiat. \(\Rightarrow\) : \(a^2 \ge 0\) et \(b^2 \ge 0\) ; une somme de deux nombres positifs est nulle si et seulement si chacun l'est, donc \(a^2 = b^2 = 0\), soit \(a = b = 0\).
Exercice 4
Montrer par l'absurde que, si \(n^2\) est divisible par \(2\), alors \(n\) l'est aussi — puis généraliser à un nombre premier \(p\).
Correction
Si \(n\) était impair, \(n = 2k+1\) et \(n^2 = 2(2k^2+2k)+1\) serait impair : contradiction. Plus généralement, si \(p\) est premier et \(p \mid n^2\), alors \(p \mid n\) (lemme d'Euclide).
Exercice 5
Montrer par récurrence que, pour tout \(n \ge 4\), on a \(2^n \ge n^2\).
Correction
Initialisation. \(n = 4\) : \(16 \ge 16\) ✓. Hérédité. Supposons \(2^n \ge n^2\) avec \(n \ge 4\). Alors \(2^{n+1} = 2\times2^n \ge 2n^2\). Il reste à voir que \(2n^2 \ge (n+1)^2\), c'est-à-dire \(n^2 - 2n - 1 \ge 0\), vraie pour \(n \ge 3\). Conclusion. L'inégalité est vraie pour tout \(n \ge 4\).
Exercice 6
Montrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(\lvert a + b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\), puis étudier le cas d'égalité.
Correction
En élevant au carré : \((a+b)^2 \le \left(\lvert a\rvert + \lvert b\rvert\right)^2\) équivaut à \(2ab \le 2\lvert ab\rvert\), toujours vraie. L'égalité a lieu si et seulement si \(ab \ge 0\), c'est-à-dire si \(a\) et \(b\) sont de même signe.
Exercice 7
Soit \(P(n)\) : « \(n^2 + n + 41\) est premier ». Vérifier \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(2)\), puis montrer que \(P(40)\) est fausse. Que conclure ?
Correction
\(41\), \(43\), \(47\) sont premiers. Pour \(n = 40\) : \(40^2 + 40 + 41 = 41\times41\), qui n'est pas premier. Des exemples, même nombreux, ne démontrent jamais une proposition universelle.