L'essentiel en une page
| Forme | Technique |
|---|---|
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | quotient des termes de plus haut degré |
| \(\frac00\) | factoriser et simplifier |
| \(\infty - \infty\) avec racine | conjugué |
| \(\frac k0\) | étudier le signe du dénominateur |
Identités utiles : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) et \(x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)\).
| Asymptote | Condition |
|---|---|
| Verticale \(x = a\) | limite infinie en \(a\) |
| Horizontale \(y = \ell\) | limite finie en \(\pm\infty\) |
| Oblique \(y = ax+b\) | \(f(x) - (ax+b) \to 0\) |
En économie : le coût moyen \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\) tend vers \(+\infty\) en \(0^+\) (les coûts fixes pèsent lourd) et suit l'asymptote du coût variable en \(+\infty\).
Ce que je dois savoir faire
- Lever une forme indéterminée.
- Calculer des limites à gauche et à droite.
- Identifier toutes les asymptotes.
- Interpréter une limite dans un contexte économique.
Les pièges à éviter
- \(\frac k0\) n'est pas indéterminée : c'est le signe qui décide.
- Une forme \(\frac00\) cache toujours un facteur commun.
- Une asymptote horizontale et une oblique ne coexistent pas du même côté.
- Le coût moyen n'est pas le coût marginal.
Testez-vous en 3 minutes
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x-2}\) ? \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\) ? Asymptote verticale de \(\frac{5}{x+1}\) ? \(\lim_{x\to0^+}\frac{100}{x}\) ?
Réponses
\(3\) ; \(4\) ; \(x = -1\) ; \(+\infty\).