Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{7x^2 + x}{2x^2 - 3}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x - 1}{x^2 + 2}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}\) (2 pts)
Correction
- \(\dfrac72\).
- \(0\).
- \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{x+1}{x+2} \to \dfrac23\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{2x - 5}{x + 3}\).
- Déterminer \(D_f\) et les limites en \(-3^-\) et \(-3^+\). (3 pts)
- Donner les asymptotes de la courbe. (2 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\}\) ; en \(-3^-\) : \(+\infty\) ; en \(-3^+\) : \(-\infty\).
- Asymptote verticale \(x = -3\) et asymptote horizontale \(y = 2\).
Exercice 3 (5 pts)
Le coût total de production est \(C(x) = 2x^2 + 30x + 800\) et le coût moyen \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\).
- Écrire \(C_m(x)\) sous forme développée. (2 pts)
- Calculer les limites de \(C_m\) en \(0^+\) et en \(+\infty\), et interpréter. (3 pts)
Correction
- \(C_m(x) = 2x + 30 + \dfrac{800}{x}\).
- En \(0^+\) : \(+\infty\) (les coûts fixes se répartissent sur très peu d'unités) ; en \(+\infty\) : \(+\infty\) (le coût variable domine).
Exercice 4 (4 pts)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right)\).
Correction
Conjugué : \(\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \dfrac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1} \to 1\).