Série 2 — formes indéterminées et asymptotes.
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2 - 3x}{x^2 + 5}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 1}{x^2 - 1}\).
Correction
La première vaut \(4\) (quotient des termes dominants) ; la seconde se comporte comme \(\dfrac{2}{x}\), donc elle vaut \(0\).
Exercice 2
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}\).
Correction
\(\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \dfrac{x+3}{x-2} \to 6\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x - 4}\).
- Calculer les limites en \(4^-\) et \(4^+\).
- Calculer la limite en \(\pm\infty\) et donner les asymptotes.
Correction
- En \(4^-\) : \(-\infty\) ; en \(4^+\) : \(+\infty\).
- La limite vaut \(3\) : asymptote horizontale \(y = 3\) et asymptote verticale \(x = 4\).
Exercice 4
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)\).
Correction
Conjugué : \(\dfrac{6x}{\sqrt{x^2+6x} + x} = \dfrac{6}{\sqrt{1 + \frac6x} + 1} \to 3\).
Exercice 5
Le coût moyen de production est \(C_m(x) = \dfrac{x^2 + 100x + 2\,500}{x}\) pour \(x > 0\).
- Écrire \(C_m(x)\) sous la forme \(x + 100 + \dfrac{2\,500}{x}\).
- Calculer la limite en \(+\infty\) et interpréter.
Correction
- La division terme à terme donne directement cette écriture.
- \(C_m(x) \to +\infty\) ; de plus \(C_m(x) - (x + 100) \to 0\) : la droite \(y = x + 100\) est asymptote oblique.
Exercice 6
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3 - 8}{x - 2}\).
Correction
\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\), donc la limite vaut \(12\).
Exercice 7
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 2}{x + 1}\). Montrer que \(y = x + 4\) est asymptote oblique en \(+\infty\).
Correction
La division donne \(f(x) = x + 4 - \dfrac{2}{x+1}\), et \(\dfrac{2}{x+1} \to 0\) : la droite est bien asymptote oblique.