Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Déterminer le PGCD de \(1\,365\) et \(1\,050\) par l'algorithme d'Euclide. (3 pts)
- En déduire une relation de Bézout. (2 pts)
Correction
- \(1\,365 = 1\times1\,050 + 315\) ; \(1\,050 = 3\times315 + 105\) ; \(315 = 3\times105\) : le PGCD est \(105\).
- \(105 = 1\,050 - 3\times315 = 1\,050 - 3(1\,365 - 1\,050) = 4\times1\,050 - 3\times1\,365\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) : \(7x \equiv 3 \pmod{10}\).
Correction
\(7\times3 = 21 \equiv 1 \pmod{10}\) : l'inverse de \(7\) est \(3\). \(x \equiv 9 \pmod{10}\), donc \(x = 9 + 10k\).
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer le reste de \(3^{2\,024}\) modulo \(7\).
Correction
\(3^6 \equiv 1 \pmod 7\) (Fermat) et \(2\,024 = 6\times337 + 2\). Donc \(3^{2\,024} \equiv 3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7\) : le reste est \(2\).
Exercice 4 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) : \(4x + 7y = 1\).
Correction
Solution particulière : \((2\,;-1)\) car \(8 - 7 = 1\). Solutions générales : \(x = 2 + 7k\) et \(y = -1 - 4k\), \(k\in\mathbb{Z}\).