Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
On considère l'équation \((E) : 11x - 7y = 5\) dans \(\mathbb{Z}^2\).
- Vérifier que \((3 ; 4)\) est solution de \((E)\) et résoudre \((E)\). (5 pts)
- Déterminer les solutions \((x ; y)\) telles que \(0 < x < 30\). (2 pts)
- Montrer que si \((x ; y)\) est solution, alors \(x\wedge y\) divise \(5\). (3 pts)
Correction
- \(11\times3 - 7\times4 = 33 - 28 = 5\). Alors \(11(x - 3) = 7(y - 4)\), Gauss : \(x = 3 + 7k\), \(y = 4 + 11k\).
- \(0 < 3 + 7k < 30\) : \(k\in\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}\), soit \((3 ; 4)\), \((10 ; 15)\), \((17 ; 26)\), \((24 ; 37)\).
- Si \(d = x\wedge y\), \(d\mid11x - 7y = 5\).
Exercice 2 (10 pts)
- Montrer que \(2^{10}\equiv1\ [11]\). (2 pts)
- En déduire le reste de \(2^{2026}\) modulo \(11\). (3 pts)
- Soit \(p\) un nombre premier différent de \(2\) et \(5\). Montrer que \(p\) divise \(10^{p-1} - 1\). (3 pts)
- En déduire que \(11\) divise \(\underbrace{99\dots9}_{10}\). (2 pts)
Correction
- Fermat avec \(p = 11\) et \(11\nmid2\).
- \(2026 = 10\times202 + 6\) : \(2^{2026}\equiv2^6 = 64\equiv9\ [11]\).
- \(p\wedge10 = 1\) : Fermat donne \(10^{p-1}\equiv1\ [p]\).
- Avec \(p = 11\) : \(11\mid10^{10} - 1 = \underbrace{99\dots9}_{10}\).