Exercice 1
Déterminer \(u\), \(v\) entiers tels que \(17u + 5v = 1\).
Correction
\(17 = 3\times5 + 2\), \(5 = 2\times2 + 1\). Donc \(1 = 5 - 2\times2 = 5 - 2(17 - 3\times5) = 7\times5 - 2\times17\) : \(u = -2\), \(v = 7\).
Exercice 2
Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) : \(17x + 5y = 3\).
Correction
Solution particulière : \((-6 ; 21)\). Alors \(17(x + 6) = -5(y - 21)\) ; \(17\wedge5 = 1\) et Gauss donnent \(x = -6 + 5k\), \(y = 21 - 17k\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) : \(4x\equiv3\ [11]\).
Correction
\(4\times3 = 12\equiv1\ [11]\) : \(x\equiv9\ [11]\).
Exercice 4
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(n^7\equiv n\ [7]\), puis que \(42\mid n^7 - n\).
Correction
Fermat : \(n^7\equiv n\ [7]\). De plus \(n^7 - n = n(n^6 - 1)\) est pair et \(n^3\equiv n\ [3]\) donne \(n^7 = (n^3)^2n\equiv n^3\equiv n\ [3]\). \(2\), \(3\), \(7\) premiers entre eux : \(42\mid n^7 - n\).
Exercice 5
Déterminer le reste de \(3^{2026}\) modulo \(13\).
Correction
\(3^3 = 27\equiv1\ [13]\) et \(2026 = 3\times675 + 1\) : \(3^{2026}\equiv3\ [13]\).