Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Déterminer le PGCD de \(756\) et \(630\) par l'algorithme d'Euclide. (3 pts)
- En déduire leur PPCM. (2 pts)
Correction
- \(756 = 1\times630 + 126\) ; \(630 = 5\times126 + 0\) : le PGCD est \(126\).
- \(\mathrm{PPCM} = \dfrac{756\times630}{126} = 3\,780\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) : \(4x \equiv 2 \pmod 9\).
Correction
\(4\times7 = 28 \equiv 1 \pmod 9\) : l'inverse de \(4\) est \(7\). Donc \(x \equiv 7\times2 = 14 \equiv 5 \pmod 9\) : \(x = 5 + 9k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer le reste de la division euclidienne de \(5^{2\,023}\) par \(6\).
Correction
\(5 \equiv -1 \pmod 6\), donc \(5^{2\,023} \equiv (-1)^{2\,023} = -1 \equiv 5 \pmod 6\) : le reste est \(5\).
Exercice 4 (5 pts)
- Vérifier que \((x\,;y) = (2\,;-1)\) est solution de \(3x + 5y = 1\). (2 pts)
- Déterminer toutes les solutions entières. (3 pts)
Correction
- \(6 - 5 = 1\) ✓.
- \(x = 2 + 5k\) et \(y = -1 - 3k\), avec \(k\in\mathbb{Z}\).