Exercice 1
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(3\) divise \(n^3 - n\).
Correction
\(n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)\) : produit de trois entiers consécutifs, l'un est multiple de \(3\).
Exercice 2
Déterminer le reste de la division de \(5^{2026}\) par \(6\), puis de \(3^{2026}\) par \(8\).
Correction
\(5\equiv-1\ [6]\) : \(5^{2026}\equiv1\ [6]\), reste \(1\). \(3^2 = 9\equiv1\ [8]\) : \(3^{2026} = (3^2)^{1013}\equiv1\ [8]\), reste \(1\).
Exercice 3
Calculer \(\text{PGCD}(1071, 462)\) par l'algorithme d'Euclide.
Correction
\(1071 = 2\times462 + 147\) ; \(462 = 3\times147 + 21\) ; \(147 = 7\times21 + 0\). PGCD \(= 21\).
Exercice 4
Déterminer les entiers \(n\) tels que \(n + 3\) divise \(2n + 13\).
Correction
\(2n + 13 = 2(n + 3) + 7\), donc \(n + 3\mid7\) : \(n + 3\in\{-7 ; -1 ; 1 ; 7\}\), soit \(n\in\{-10 ; -4 ; -2 ; 4\}\).
Exercice 5
Combien \(720\) a-t-il de diviseurs positifs ?
Correction
\(720 = 2^4\times3^2\times5\) : \((4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30\) diviseurs.
Exercice 6
Écrire \(45\) en base \(2\) et \(\overline{2102}_{(3)}\) en base \(10\).
Correction
\(45 = 32 + 8 + 4 + 1 = \overline{101101}_{(2)}\). \(\overline{2102}_{(3)} = 54 + 9 + 0 + 2 = 65\).