Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (7 pts)
- Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(7\mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}\). (4 pts)
- Déterminer le reste de \(2026^{2026}\) modulo \(5\). (3 pts)
Correction
- \(3^{2n+1} = 3\times9^n\equiv3\times2^n\ [7]\) et \(2^{n+2} = 4\times2^n\). Somme \(\equiv7\times2^n\equiv0\ [7]\).
- \(2026\equiv1\ [5]\) donc \(2026^{2026}\equiv1\ [5]\).
Exercice 2 (7 pts)
Soient \(a = 2n + 1\) et \(b = 3n + 2\) avec \(n\in\mathbb{N}\).
- Montrer que \(3a - 2b = -1\). (2 pts)
- En déduire que \(\text{PGCD}(a, b) = 1\). (2 pts)
- Déterminer \(\text{PPCM}(a, b)\) en fonction de \(n\). (3 pts)
Correction
- \(6n + 3 - 6n - 4 = -1\).
- Tout diviseur commun divise \(3a - 2b = -1\), donc PGCD \(= 1\).
- PPCM \(= ab = (2n + 1)(3n + 2)\).
Exercice 3 (6 pts)
- Montrer que si \(p\ge5\) est premier, alors \(p\equiv1\ [6]\) ou \(p\equiv5\ [6]\). (3 pts)
- En déduire que \(p^2\equiv1\ [6]\). (3 pts)
Correction
- Les restes modulo \(6\) sont \(0, \dots, 5\). Les restes \(0, 2, 4\) donnent un nombre pair, \(3\) un multiple de \(3\) : impossible pour \(p\ge5\) premier. Il reste \(1\) et \(5\).
- \(1^2 = 1\) et \(5^2 = 25\equiv1\ [6]\) : donc \(p^2\equiv1\ [6]\).