1. Les nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire \(\frac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers relatifs et \(b\neq0\).
Exemples : \(\frac{-3}{4}\), \(5 = \frac51\), \(-0{,}2 = \frac{-1}{5}\).
Règle des signes dans une fraction
Égalité et simplification
\(\frac{a}{b} = \frac{a\times k}{b\times k}\) pour \(k\neq0\). Exemple : \(\frac{-15}{25} = \frac{-3}{5}\).
2. Comparaison
- On écrit les deux nombres avec un même dénominateur positif, puis on compare les numérateurs.
- Un rationnel négatif est inférieur à un rationnel positif.
Exemple : \(\frac{-2}{3}\) et \(\frac{-3}{4}\) : \(\frac{-8}{12} > \frac{-9}{12}\), donc \(\frac{-2}{3} > \frac{-3}{4}\).
Figure — rationnels sur une droite graduée
3. Addition et soustraction
Même dénominateur : \(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}\) et \(\frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d}\).
Dénominateurs différents : on réduit au même dénominateur (de préférence le plus petit multiple commun).
Exemple : \(\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}\). Exemple : \(-\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{-6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{-1}{15}\).
4. Somme algébrique
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : \(\frac{a}{b} - \left(-\frac{c}{d}\right) = \frac{a}{b} + \frac{c}{d}\). Pour une somme de plusieurs termes, on supprime les parenthèses puis on regroupe les termes de même dénominateur.