Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice (20 pts)
Le chiffre d'affaires \(y\) (en millions de DH) d'une entreprise pendant \(6\) années (\(x\) = rang de l'année) :
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 10 | 12 | 13 | 15 | 18 | 19 |
- Représenter le nuage de points et calculer le point moyen \(G\). (4 pts)
- Calculer \(V(x)\) et \(\text{cov}(x, y)\). (6 pts)
- Déterminer la droite de régression de \(y\) en \(x\). (5 pts)
- Estimer le chiffre d'affaires de la 8e année. (2 pts)
- Calculer le coefficient de corrélation sachant que \(V(y) = \frac{41}{4}\), et commenter. (3 pts)
Correction
- \(\bar x = 3{,}5\), \(\bar y = \frac{87}{6} = 14{,}5\) : \(G(3{,}5 ; 14{,}5)\).
- \(\sum x_i^2 = 91\), \(V(x) = \frac{91}{6} - 12{,}25 = \frac{35}{12}\approx2{,}917\). \(\sum x_iy_i = 10 + 24 + 39 + 60 + 90 + 114 = 337\), \(\text{cov} = \frac{337}{6} - 50{,}75 = \frac{65}{12}\approx5{,}417\).
- \(a = \frac{65/12}{35/12} = \frac{13}{7}\approx1{,}857\), \(b = 14{,}5 - \frac{13}{7}\times3{,}5 = 8\) : \(y = \frac{13}{7}x + 8\).
- \(y = \frac{13}{7}\times8 + 8\approx22{,}9\) millions de DH.
- \(\sigma_x\approx1{,}708\), \(\sigma_y\approx3{,}202\) : \(r\approx\frac{5{,}417}{5{,}468}\approx0{,}99\), très proche de \(1\) : ajustement affine justifié.