Durée : 2 heures. Barème sur 20. Polynômes, équations, inéquations et systèmes.
Exercice 1 (7 pts)
Soit \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\).
- Calculer \(P(1)\). En déduire que \(P(x) = (x - 1)Q(x)\) et déterminer \(Q(x)\).
- Factoriser \(Q(x)\) puis résoudre \(P(x) = 0\).
Correction
- \(P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\). Par division : \(Q(x) = x^2 - x - 6\).
- \(Q(x) = (x - 3)(x + 2)\). \(P(x) = 0\) pour \(x\in\{-2\,;1\,;3\}\).
Exercice 2 (7 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2x^2 - 3x - 2 = 0\).
- Étudier le signe de \(2x^2 - 3x - 2\) et résoudre \(2x^2 - 3x - 2\le0\).
- Résoudre \(\frac{x - 1}{x + 2}\ge0\).
Correction
- \(\Delta = 9 + 16 = 25\) : \(x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac12\), \(x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2\).
- Le trinôme est du signe de \(a = 2 > 0\) à l'extérieur des racines : \(S = \left[-\frac12\,;2\right]\).
- Tableau de signes : \(S = ]-\infty\,;-2[\cup[1\,;+\infty[\).
Exercice 3 (6 pts)
Résoudre le système \(\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 3y = 18 \end{cases}\) par la méthode des déterminants.
Correction
\(\Delta = 3\times(-3) - 5\times2 = -19\) ; \(\Delta_x = 7\times(-3) - 18\times2 = -57\) ; \(\Delta_y = 3\times18 - 5\times7 = 19\). \(x = \frac{-57}{-19} = 3\), \(y = \frac{19}{-19} = -1\). Solution \((3\,;-1)\).