Durée : 2 heures. Barème sur 20. Trigonométrie, généralités sur les fonctions, fonctions de référence.
Exercice 1 (6 pts)
- Convertir \(\frac{5\pi}{6}\) rad en degrés et \(135°\) en radians.
- Calculer \(\cos\frac{2\pi}{3}\), \(\sin\frac{5\pi}{6}\) et \(\tan\frac{3\pi}{4}\).
- Sachant que \(\cos x = \frac35\) et \(x\in\left]-\frac\pi2\,;0\right[\), calculer \(\sin x\).
Correction
- \(150°\) ; \(\frac{3\pi}{4}\).
- \(-\frac12\) ; \(\frac12\) ; \(-1\).
- \(\sin^2x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\) et \(\sin x < 0\) : \(\sin x = -\frac45\).
Exercice 2 (7 pts)
Soit \(f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}\).
- Déterminer l'ensemble de définition \(D_f\).
- Montrer que \(f(x) = 2 - \frac{3}{x + 1}\).
- En déduire les variations de \(f\) sur \(]-1\,;+\infty[\).
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
- \(2 - \frac{3}{x + 1} = \frac{2x + 2 - 3}{x + 1} = \frac{2x - 1}{x + 1}\).
- Sur \(]-1\,;+\infty[\), \(x\mapsto x + 1\) est croissante et positive, donc \(\frac{3}{x + 1}\) est décroissante et \(f\) est croissante.
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(g(x) = x^2 - 4x + 1\).
- Écrire \(g(x)\) sous forme canonique.
- Dresser le tableau de variations de \(g\) et donner son minimum.
- La fonction \(g\) est-elle paire ? Justifier.
Correction
- \(g(x) = (x - 2)^2 - 3\).
- \(g\) décroissante sur \(]-\infty\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\) ; minimum \(-3\) atteint en \(2\).
- \(g(-1) = 6\) et \(g(1) = -2\) : \(g(-1)\neq g(1)\), donc \(g\) n'est pas paire.