Durée : 2 heures. Barème sur 20. Transformations du plan, produit scalaire.
Exercice 1 (8 pts)
Dans un repère orthonormé, \(\Omega(1\,;1)\), \(A(3\,;2)\) et \(B(0\,;4)\). On note \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-2\).
- Calculer les coordonnées de \(A' = h(A)\) et \(B' = h(B)\).
- Vérifier que \(\overrightarrow{A'B'} = -2\overrightarrow{AB}\).
- Quelle est l'image du cercle de centre \(A\) et de rayon \(1\) ?
Correction
- \(\overrightarrow{\Omega A}(2\,;1)\) : \(A'(1 - 4\,;1 - 2) = (-3\,;-1)\). \(\overrightarrow{\Omega B}(-1\,;3)\) : \(B'(1 + 2\,;1 - 6) = (3\,;-5)\).
- \(\overrightarrow{AB}(-3\,;2)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(6\,;-4) = -2\overrightarrow{AB}\).
- Le cercle de centre \(A'(-3\,;-1)\) et de rayon \(2\).
Exercice 2 (12 pts)
Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(2\,;5)\).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
- Calculer \(AB\) et \(AC\), puis \(\cos\widehat{BAC}\).
- Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ?
- Donner une équation de la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).
Correction
- \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\), \(\overrightarrow{AC}(1\,;3)\) : produit scalaire \(3 + 3 = 6\).
- \(AB = AC = \sqrt{10}\) ; \(\cos\widehat{BAC} = \frac{6}{10} = \frac35\).
- Non, car \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\neq0\).
- \(\overrightarrow{BC}(-2\,;2)\) est normal : \(-2x + 2y + c = 0\) avec \(-2 + 4 + c = 0\), \(c = -2\) : \(-2x + 2y - 2 = 0\), soit \(x - y + 1 = 0\).