Durée : 2 heures. Barème sur 20. Géométrie dans l'espace, statistiques.
Exercice 1 (9 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête \(4\) cm (\(ABCD\) et \(EFGH\) faces opposées, \((AE)\) arête).
- Montrer que la droite \((BF)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
- Calculer \(AC\) et \(AG\).
- Calculer le volume de la pyramide \(FABC\).
Correction
- \((BF)\perp(BA)\) et \((BF)\perp(BC)\), deux droites sécantes du plan \((ABC)\) : \((BF)\perp(ABC)\).
- \(AC = 4\sqrt2\) cm ; \(AG = 4\sqrt3\) cm.
- Base \(ABC\) d'aire \(8\) cm², hauteur \(BF = 4\) cm : \(V = \frac13\times8\times4 = \frac{32}{3}\) cm³.
Exercice 2 (11 pts)
Âges des \(20\) membres d'un club :
| Âge | \(15\) | \(16\) | \(17\) | \(18\) |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(4\) | \(7\) | \(6\) | \(3\) |
- Calculer l'âge moyen.
- Déterminer la médiane et le mode.
- Calculer la variance et l'écart-type.
Correction
- \(\bar x = \frac{60 + 112 + 102 + 54}{20} = \frac{328}{20} = 16{,}4\) ans.
- ECC : \(4\) ; \(11\) ; \(17\) ; \(20\) : les \(10^e\) et \(11^e\) valeurs valent \(16\), \(Me = 16\) ; mode \(16\).
- \(\sum n_ix_i^2 = 900 + 1792 + 1734 + 972 = 5398\) ; \(V = \frac{5398}{20} - 16{,}4^2 = 269{,}9 - 268{,}96 = 0{,}94\) ; \(\sigma\approx0{,}97\).