Durée : 2 heures. Barème sur 20. Calcul vectoriel, projection, droites dans le plan.
Exercice 1 (7 pts)
Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;2)\), \(B(5\,;4)\) et \(C(3\,;-2)\).
- Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
- Déterminer les coordonnées de \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
- Déterminer les coordonnées du point \(G\) tel que \(\overrightarrow{AG} = \frac23\overrightarrow{AB}\).
Correction
- \(\overrightarrow{AB}(4\,;2)\), \(\overrightarrow{AC}(2\,;-4)\) ; \(\det = 4\times(-4) - 2\times2 = -20\neq0\) : non alignés.
- \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}(-2\,;-6)\) : \(D(-1\,;-4)\).
- \(\overrightarrow{AG}\left(\frac83\,;\frac43\right)\) : \(G\left(\frac{11}{3}\,;\frac{10}{3}\right)\).
Exercice 2 (5 pts)
\(ABC\) est un triangle, \(M\) défini par \(\overrightarrow{BM} = \frac14\overrightarrow{BC}\). La parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) coupe \((AB)\) en \(N\). Montrer, à l'aide d'une projection, que \(\overrightarrow{BN} = \frac14\overrightarrow{BA}\).
Correction
On projette sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\) : \(B\mapsto B\), \(C\mapsto A\), \(M\mapsto N\). La projection conserve le rapport : \(\overrightarrow{BM} = \frac14\overrightarrow{BC}\) donne \(\overrightarrow{BN} = \frac14\overrightarrow{BA}\).
Exercice 3 (8 pts)
On considère les droites \((D) : 2x - y + 3 = 0\) et \((D') : x + 2y - 1 = 0\).
- Donner un vecteur directeur de chaque droite et la pente de \((D)\).
- Montrer que \((D)\) et \((D')\) sont sécantes et calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
- Donner une équation cartésienne de la droite passant par \(E(2\,;1)\) et parallèle à \((D)\).
Correction
- \((D)\) : \(\vec u(1\,;2)\), pente \(2\) ; \((D')\) : \(\vec v(-2\,;1)\).
- \(\det(\vec u, \vec v) = 1\times1 - (-2)\times2 = 5\neq0\) : sécantes. \(y = 2x + 3\) dans \((D')\) : \(x + 4x + 6 - 1 = 0\), \(x = -1\), \(y = 1\). Intersection \((-1\,;1)\).
- \(2x - y + c = 0\) avec \(4 - 1 + c = 0\), \(c = -3\) : \(2x - y - 3 = 0\).