Durée : 2 heures. Barème sur 20. Logique, ensembles de nombres, arithmétique dans ℕ.
Exercice 1 (5 pts)
- Donner la négation de la proposition \(P\) : « \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2 + 1 > 0\) ». \(P\) est-elle vraie ?
- Montrer par contraposée que, pour \(n\in\mathbb{N}\) : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.
Correction
- \(\overline{P}\) : « \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2 + 1\le0\) ». \(P\) est vraie car \(x^2\ge0\) donc \(x^2 + 1\ge1 > 0\).
- Contraposée : si \(n\) est impair alors \(n^2\) est impair. \(n = 2k + 1\) donne \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\), impair. La contraposée étant vraie, la proposition l'est aussi.
Exercice 2 (6 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(|x - 3| = 5\) et \(|2x + 1|\le3\).
- Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels \(x\) tels que \(-2 < x\le 4\) et \(x > 1\).
- Simplifier \(A = \frac{1}{\sqrt3 - 1} - \frac{\sqrt3}{2}\).
Correction
- \(x - 3 = 5\) ou \(x - 3 = -5\) : \(x = 8\) ou \(x = -2\). \(-3\le2x + 1\le3\) donne \(-2\le x\le1\) : \(S = [-2\,;1]\).
- \(]1\,;4]\).
- \(\frac{1}{\sqrt3 - 1} = \frac{\sqrt3 + 1}{2}\) donc \(A = \frac{\sqrt3 + 1 - \sqrt3}{2} = \frac12\).
Exercice 3 (9 pts)
- Décomposer \(1\,260\) et \(756\) en produit de facteurs premiers ; en déduire leur PGCD et leur PPCM.
- Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n(n + 1)(2n + 1)\) est pair.
- Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \(n + 3\) divise \(n + 10\).
Correction
- \(1260 = 2^2\times3^2\times5\times7\) ; \(756 = 2^2\times3^3\times7\). PGCD \(= 2^2\times3^2\times7 = 252\) ; PPCM \(= 2^2\times3^3\times5\times7 = 3780\).
- \(n(n + 1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair ; le produit total est pair.
- \(n + 10 = (n + 3) + 7\) : \(n + 3\) divise \(n + 10\) si et seulement si \(n + 3\) divise \(7\). Comme \(n + 3\ge3\), \(n + 3 = 7\), donc \(n = 4\).