Durée : 1 heure. Barème sur 20. Leçons 7 à 9 : trigonométrie, angles inscrits, équations et inéquations.
Exercice 1 (6 pts)
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(\widehat{ABC} = 30°\).
- Calculer \(BC\) (\(\cos30° = \frac{\sqrt3}{2}\)).
- Calculer \(AC\).
Correction
- \(\cos30° = \frac{AB}{BC}\) donc \(BC = \frac{6}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3\) cm.
- \(\tan30° = \frac{AC}{AB}\) et \(\tan30° = \frac{\sqrt3}{3}\), donc \(AC = 6\times\frac{\sqrt3}{3} = 2\sqrt3\) cm.
Exercice 2 (3 pts)
Sachant que \(\sin x = 0{,}6\) (\(x\) angle aigu), calculer \(\cos x\) et \(\tan x\).
Correction
\(\cos^2x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\), \(\cos x = 0{,}8\) ; \(\tan x = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75\).
Exercice 3 (5 pts)
\(A\), \(B\), \(M\) sont trois points d'un cercle de centre \(O\), avec \(\widehat{AOB} = 110°\) (\(M\) sur le grand arc).
- Calculer \(\widehat{AMB}\). Justifier.
- \(N\) est un autre point du grand arc \(AB\). Que vaut \(\widehat{ANB}\) ?
Correction
- \(\widehat{AMB}\) est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) : \(\widehat{AMB} = \frac{110}{2} = 55°\).
- Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux : \(\widehat{ANB} = 55°\).
Exercice 4 (6 pts)
- Résoudre : \(5x - 3 = 2x + 9\) ; \((x - 2)(3x + 6) = 0\).
- Résoudre l'inéquation \(3x - 4 > 5x + 2\) et représenter les solutions sur une droite graduée.
Correction
- \(3x = 12\), \(x = 4\). Produit nul : \(x = 2\) ou \(x = -2\).
- \(-2x > 6\), donc \(x < -3\) (on divise par un négatif, le sens change). Les solutions sont les nombres strictement inférieurs à \(-3\).