Durée : 1 heure. Barème sur 20. Leçons 10 à 12 : systèmes, fonctions linéaires et affines, repère dans le plan.
Exercice 1 (6 pts)
Résoudre le système : \(\begin{cases} x + y = 11 \\ 2x - y = 4 \end{cases}\)
Correction
En additionnant : \(3x = 15\), \(x = 5\) ; puis \(y = 11 - 5 = 6\). La solution est \((5\,;6)\).
Exercice 2 (7 pts)
\(f\) est la fonction affine telle que \(f(x) = -2x + 3\) et \(g\) la fonction linéaire telle que \(g(4) = 10\).
- Calculer \(f(0)\), \(f(-1)\) et l'antécédent de \(-5\) par \(f\).
- Déterminer l'expression de \(g(x)\).
- Résoudre \(f(x) = g(x)\).
Correction
- \(f(0) = 3\) ; \(f(-1) = 5\) ; \(-2x + 3 = -5\) donne \(x = 4\).
- \(g(x) = ax\) avec \(4a = 10\), \(a = 2{,}5\) : \(g(x) = 2{,}5x\).
- \(-2x + 3 = 2{,}5x\), \(4{,}5x = 3\), \(x = \frac{2}{3}\).
Exercice 3 (7 pts)
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\) et \(C(5\,;0)\).
- Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AC]\).
- Calculer \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
- Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?
Correction
- \(I\left(\frac{-1 + 5}{2}\,;\frac{2 + 0}{2}\right) = (2\,;1)\).
- \(AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5\) ; \(BC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5\) ; \(AC = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
- \(AB = BC\) et \(AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2\) : le triangle est rectangle isocèle en \(B\).