Durée : 1 heure. Barème sur 20. Leçons 13 à 15 : équation d'une droite, vecteurs et translation, triangles isométriques et semblables.
Exercice 1 (8 pts)
On donne \(A(1\,;3)\) et \(B(3\,;7)\) dans un repère orthonormé.
- Calculer le coefficient directeur de \((AB)\) et déterminer son équation réduite.
- La droite \((D)\) a pour équation \(y = 2x + 5\). Montrer que \((D)\parallel(AB)\).
- Donner l'équation de la droite \((\Delta)\) perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(A\).
Correction
- \(m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2\) ; \(y = 2x + p\) et \(3 = 2 + p\), \(p = 1\) : \((AB) : y = 2x + 1\).
- Même coefficient directeur \(2\) : les droites sont parallèles.
- Coefficient \(-\frac12\) (car \(2\times(-\frac12) = -1\)) : \(y = -\frac12x + p\) avec \(3 = -\frac12 + p\), \(p = \frac72\). \((\Delta) : y = -\frac12x + \frac72\).
Exercice 2 (5 pts)
On donne \(\vec u(3\,;-2)\) et \(M(-1\,;4)\).
- Calculer les coordonnées de \(M'\), image de \(M\) par la translation de vecteur \(\vec u\).
- Calculer la norme de \(\vec u\).
Correction
- \(M'(-1 + 3\,;4 - 2) = (2\,;2)\).
- \(\|\vec u\| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
Exercice 3 (7 pts)
Les triangles \(ABC\) et \(EFG\) sont semblables avec \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(AC = 5\) et \(EF = 6\) (\(E\) correspond à \(A\), \(F\) à \(B\), \(G\) à \(C\)).
- Calculer le rapport de similitude \(k = \frac{EF}{AB}\).
- Calculer \(FG\) et \(EG\).
- L'aire de \(ABC\) vaut \(9{,}9\) cm² environ. Combien vaut celle de \(EFG\) ?
Correction
- \(k = \frac64 = 1{,}5\).
- \(FG = 1{,}5\times6 = 9\) et \(EG = 1{,}5\times5 = 7{,}5\).
- Les aires sont multipliées par \(k^2 = 2{,}25\) : environ \(22{,}3\) cm².