Durée : 1 heure. Barème sur 20. Leçons 4 à 6 : ordre et opérations, théorème de Thalès, théorème de Pythagore.
Exercice 1 (5 pts)
- Comparer \(2\sqrt5\) et \(3\sqrt2\).
- On sait que \(1 < x < 3\) et \(-2 < y < -1\). Encadrer \(x + y\), \(x - y\) et \(2x - 3\).
Correction
- \((2\sqrt5)^2 = 20\) et \((3\sqrt2)^2 = 18\) ; ces nombres sont positifs, donc \(2\sqrt5 > 3\sqrt2\).
- \(-1 < x + y < 2\) ; \(1 < -y < 2\) donc \(2 < x - y < 5\) ; \(-1 < 2x - 3 < 3\).
Exercice 2 (8 pts)
\(ABC\) est un triangle tel que \(AB = 8\) cm, \(AC = 10\) cm et \(BC = 6\) cm. \(M\) est le point de \([AB]\) tel que \(AM = 2\) cm ; la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \([AC]\) en \(N\).
- Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(B\).
- Calculer \(AN\) et \(MN\).
Correction
- Le plus grand côté est \(AC\) : \(AC^2 = 100\) et \(AB^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\).
- \((MN)\parallel(BC)\), d'après Thalès : \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\), soit \(\frac28 = \frac{AN}{10} = \frac{MN}{6}\). Donc \(AN = 2{,}5\) cm et \(MN = 1{,}5\) cm.
Exercice 3 (7 pts)
Sur la figure, \(E\), \(A\), \(C\) sont alignés et \(F\), \(A\), \(B\) sont alignés dans cet ordre, avec \(AE = 3\), \(AC = 7{,}5\), \(AF = 2\) et \(AB = 5\).
- Montrer que \((EF)\parallel(BC)\).
- Sachant que \(BC = 6\), calculer \(EF\).
Correction
- \(\frac{AE}{AC} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4\) et \(\frac{AF}{AB} = \frac25 = 0{,}4\). Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque de Thalès, \((EF)\parallel(BC)\).
- \(\frac{EF}{BC} = 0{,}4\) donc \(EF = 2{,}4\).