Durée : 2 heures. Barème sur 20. Exponentielle, équations différentielles, nombres complexes.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}\).
- Montrer que \(f\) est impaire et calculer ses limites en \(\pm\infty\).
- Montrer que \(f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}\) et que \(f' = \frac12(1 - f^2)\).
Correction
- \(f(-x) = \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} = -f(x)\). \(\lim_{+\infty}f = 1\), \(\lim_{-\infty}f = -1\).
- \(f'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x(e^x - 1)}{(e^x + 1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}\). Et \(1 - f^2 = \frac{(e^x + 1)^2 - (e^x - 1)^2}{(e^x + 1)^2} = \frac{4e^x}{(e^x + 1)^2} = 2f'\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) et trouver la solution telle que \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 1\).
Correction
Équation caractéristique \(r^2 - 3r + 2 = 0\) : \(r = 1\) ou \(r = 2\). \(y = Ae^x + Be^{2x}\) ; \(A + B = 0\) et \(A + 2B = 1\) : \(B = 1\), \(A = -1\). \(y = e^{2x} - e^x\).
Exercice 3 (7 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - (1 + i)z + i = 0\) (on pourra remarquer que \(1\) est solution).
- Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z - i| = |z + 1|\).
Correction
- Pour \(z = 1\) : \(1 - 1 - i + i = 0\). Produit des racines \(= i\), donc l'autre racine est \(i\).
- \(M\) est équidistant de \(A(i)\) et \(B(-1)\) : c'est la médiatrice de \([AB]\), la droite d'équation \(y = -x\).