Durée : 2 heures. Barème sur 20. Suites numériques, logarithme.
Exercice 1 (10 pts)
Pour \(n\ge1\), on pose \(u_n = \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{n + k}\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
- Montrer que \(u_n\le1\) et en déduire que \((u_n)\) converge.
- Montrer que pour \(x > 0\) : \(\frac{1}{x + 1}\le\ln(x + 1) - \ln x\le\frac1x\).
- En déduire que \(\ln\frac{2n + 1}{n + 1}\le u_n\le\ln2\), puis \(\lim u_n\).
Correction
- \(u_{n + 1} - u_n = \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{2n + 2} > 0\).
- Chacun des \(n\) termes est \(\le\frac{1}{n + 1} < \frac1n\), donc \(u_n\le1\) ; croissante et majorée, elle converge.
- Par le théorème des accroissements finis sur \([x\,;x + 1]\) : \(\ln(x + 1) - \ln x = \frac1c\) avec \(x < c < x + 1\), d'où l'encadrement.
- En sommant pour \(x = n + k\) (\(k = 1..n\)) : \(u_n\le\sum[\ln(n + k) - \ln(n + k - 1)] = \ln\frac{2n}{n} = \ln2\) ; et \(u_n\ge\sum[\ln(n + k + 1) - \ln(n + k)] = \ln\frac{2n + 1}{n + 1}\). Par encadrement, \(\lim u_n = \ln2\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer les limites aux bornes et étudier les variations de \(f\).
- En déduire que pour tout \(x > 0\), \(\ln x\le\frac xe\).
- Comparer \(e^\pi\) et \(\pi^e\).
Correction
- \(\lim_{0^+}f = -\infty\), \(\lim_{+\infty}f = 0\). \(f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}\) : croissante sur \(]0\,;e]\), décroissante sur \([e\,;+\infty[\), maximum \(f(e) = \frac1e\).
- \(\frac{\ln x}{x}\le\frac1e\), donc \(\ln x\le\frac xe\).
- \(\pi > e\) donc \(f(\pi) < f(e)\) : \(\frac{\ln\pi}{\pi} < \frac1e\), soit \(e\ln\pi < \pi\), donc \(\pi^e < e^\pi\).