Durée : 2 heures. Barème sur 20. Limites et continuité, dérivation.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \sqrt[3]{x + 1}\) sur \([-1\,;+\infty[\).
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\) et interpréter.
- Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(-1\).
- Montrer que l'équation \(f(x) = x\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\).
Correction
- \(\frac{f(x)}{x} = \frac{(x + 1)^{1/3}}{x}\to0\) : branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
- \(\frac{f(x) - f(-1)}{x + 1} = (x + 1)^{-2/3}\to+\infty\) : non dérivable à droite en \(-1\), demi-tangente verticale.
- \(g(x) = f(x) - x\) est continue ; \(g'(x) = \frac{1}{3(x + 1)^{2/3}} - 1 < 0\) sur \([1\,;2]\) car \((x + 1)^{2/3}\ge2^{2/3} > \frac13\) ; \(g(1) = \sqrt[3]2 - 1 > 0\) et \(g(2) = \sqrt[3]3 - 2 < 0\) : solution unique par le théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 2 (12 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Étudier la parité de \(f\) et calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
- Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f\) est strictement croissante.
- Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1\,;1[\) et déterminer \(f^{-1}(x)\).
Correction
- \(f(-x) = -f(x)\) : impaire. \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}\to1\) pour \(x > 0\).
- \(f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}} > 0\).
- \(f\) continue strictement croissante, \(\lim_{-\infty}f = -1\), \(\lim_{+\infty}f = 1\) : bijection sur \(]-1\,;1[\). \(y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) donne \(y^2(x^2 + 1) = x^2\), \(x^2 = \frac{y^2}{1 - y^2}\), et \(x\) a le signe de \(y\) : \(f^{-1}(y) = \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}}\).