Durée : 2 heures. Barème sur 20. Calcul intégral, nombres complexes.
Exercice 1 (10 pts)
Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^1x^ne^{-x}\,dx\).
- Calculer \(I_0\).
- Montrer que \(I_{n + 1} = (n + 1)I_n - \frac1e\).
- Montrer que \(0\le I_n\le\frac{1}{n + 1}\) et en déduire \(\lim I_n\).
Correction
- \(I_0 = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac1e\).
- Par parties (\(u = x^{n + 1}\), \(v' = e^{-x}\)) : \(I_{n + 1} = \left[-x^{n + 1}e^{-x}\right]_0^1 + (n + 1)\int_0^1x^ne^{-x}\,dx = -\frac1e + (n + 1)I_n\).
- Sur \([0\,;1]\) : \(0\le x^ne^{-x}\le x^n\), donc \(0\le I_n\le\int_0^1x^n\,dx = \frac{1}{n + 1}\). Par encadrement, \(\lim I_n = 0\).
Exercice 2 (10 pts)
Dans le plan complexe, on considère \(a = 1 + i\), \(b = 1 - i\) et la rotation \(R\) de centre \(O\) et d'angle \(\frac\pi2\).
- Écrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle.
- Donner l'écriture complexe de \(R\) et calculer \(R(b)\).
- Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\).
Correction
- \(a = \sqrt2e^{i\frac\pi4}\), \(b = \sqrt2e^{-i\frac\pi4}\).
- \(z' = iz\) ; \(R(b) = i(1 - i) = 1 + i = a\).
- \(R(B) = A\) : \(OA = OB\) et \((\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA})\equiv\frac\pi2\), donc \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\).