Durée : 2 heures. Barème sur 20. Arithmétique dans ℤ, structures algébriques.
Exercice 1 (10 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) l'équation \((E) : 7x - 5y = 1\).
- Déterminer le reste de \(3^{100}\) dans la division par \(7\).
- Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\text{PGCD}(n, 2n + 1) = 1\).
Correction
- \((x, y) = (3, 4)\) est solution particulière (\(21 - 20 = 1\)). Par différence, \(7(x - 3) = 5(y - 4)\) ; \(7\) et \(5\) sont premiers entre eux, donc (Gauss) \(x = 3 + 5k\), \(y = 4 + 7k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
- \(3^6\equiv1\ [7]\) (Fermat) ; \(100 = 6\times16 + 4\), donc \(3^{100}\equiv3^4 = 81\equiv4\ [7]\).
- Si \(d\) divise \(n\) et \(2n + 1\), il divise \((2n + 1) - 2n = 1\) : \(d = 1\).
Exercice 2 (10 pts)
Sur \(\mathbb{R}\), on définit la loi \(\top\) par \(x\top y = x + y - 2\).
- Montrer que \(\top\) est commutative et associative.
- Montrer que \((\mathbb{R}, \top)\) admet un élément neutre et que tout élément a un symétrique.
- Conclure sur la structure de \((\mathbb{R}, \top)\).
Correction
- \(x\top y = y\top x\) ; \((x\top y)\top z = x + y + z - 4 = x\top(y\top z)\).
- \(x\top e = x \Leftrightarrow e = 2\) : neutre \(2\). \(x\top x' = 2 \Leftrightarrow x' = 4 - x\).
- \((\mathbb{R}, \top)\) est un groupe commutatif.