Durée : 2 heures. Barème sur 20. Espaces vectoriels, probabilités.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(E = \{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}\).
- Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).
- Montrer que \(u = (1, -1, 0)\) et \(v = (0, 1, -1)\) forment une base de \(E\).
- Donner les coordonnées de \(w = (2, 1, -3)\) dans la base \((u, v)\).
Correction
- \((0, 0, 0)\in E\) et la condition linéaire est stable par combinaison linéaire.
- \(u, v\in E\) ; \(\alpha u + \beta v = (\alpha, \beta - \alpha, -\beta) = 0\) donne \(\alpha = \beta = 0\) : libre. Tout \((x, y, z)\in E\) s'écrit \((x, y, -x - y) = xu + (x + y)v\) : génératrice. C'est une base.
- \(w = 2u + 3v\) (car \(x = 2\), \(x + y = 3\)). Vérification : \((2, -2, 0) + (0, 3, -3) = (2, 1, -3)\).
Exercice 2 (10 pts)
On lance \(5\) fois un dé équilibré. On note \(X\) le nombre de « \(6\) » obtenus.
- Quelle est la loi de \(X\) ?
- Calculer \(P(X = 2)\) et \(P(X\ge1)\).
- Calculer l'espérance et la variance de \(X\).
Correction
- Loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = \frac16\).
- \(P(X = 2) = C_5^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^3 = \frac{10\times125}{7776} = \frac{1250}{7776}\approx0{,}161\) ; \(P(X\ge1) = 1 - \left(\frac56\right)^5\approx0{,}598\).
- \(E(X) = \frac56\) ; \(V(X) = 5\times\frac16\times\frac56 = \frac{25}{36}\).