Durée : 2 heures. Barème sur 20. Fonction logarithme népérien.
Exercice 1 (6 pts)
Résoudre : (a) \(\ln(2x - 1) = 0\) ; (b) \(\ln x + \ln(x + 2) = \ln8\) ; (c) \(\ln(x - 1) < \ln3\).
Correction
(a) \(2x - 1 = 1\), \(x = 1\). (b) \(x > 0\) et \(x^2 + 2x - 8 = 0\) : \(x = 2\) (\(-4\) rejeté). (c) \(1 < x < 4\).
Exercice 2 (14 pts)
Soit \(f(x) = 2x - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer \(\lim_{x\to0^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
- En déduire que \(f(x) > 0\) pour tout \(x > 0\).
- Le coût moyen de production de \(x\) milliers d'unités est \(C_M(x) = f(x)\). Pour quelle production le coût moyen est-il minimal ?
Correction
- \(+\infty\) ; \(f(x) = x\left(2 - \frac{\ln x}{x}\right)\to+\infty\).
- \(f'(x) = 2 - \frac1x = \frac{2x - 1}{x}\) : décroissante sur \(\left]0\,;\frac12\right]\), croissante sur \(\left[\frac12\,;+\infty\right[\) ; minimum \(f\left(\frac12\right) = 1 + \ln2\).
- Le minimum \(1 + \ln2 > 0\), donc \(f(x) > 0\).
- Pour \(500\) unités ; le coût moyen minimal vaut \(1 + \ln2\approx1{,}69\).