Durée : 2 heures. Barème sur 20. Suites numériques.
Exercice 1 (20 pts)
Une ville compte \(50\,000\) habitants en 2025. Chaque année, la population augmente de \(4\,\%\) et \(1\,000\) personnes quittent la ville. On note \(u_n\) la population en \(2025 + n\).
- Justifier que \(u_{n + 1} = 1{,}04u_n - 1000\) et calculer \(u_1\).
- On pose \(v_n = u_n - 25\,000\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Déterminer \(\lim u_n\).
- À partir de quelle année la population dépassera-t-elle \(60\,000\) habitants ?
Correction
- Augmentation de \(4\,\%\) : multiplication par \(1{,}04\), puis on retire \(1000\). \(u_1 = 52\,000 - 1000 = 51\,000\).
- \(v_{n + 1} = 1{,}04u_n - 26\,000 = 1{,}04(u_n - 25\,000) = 1{,}04v_n\) : géométrique de raison \(1{,}04\), \(v_0 = 25\,000\).
- \(v_n = 25\,000\times1{,}04^n\) et \(u_n = 25\,000 + 25\,000\times1{,}04^n\).
- \(1{,}04 > 1\) : \(\lim u_n = +\infty\).
- \(25\,000\times1{,}04^n > 35\,000 \Leftrightarrow 1{,}04^n > 1{,}4 \Leftrightarrow n > \frac{\ln1{,}4}{\ln1{,}04}\approx8{,}6\) : \(n = 9\), en 2034.