Durée : 2 heures. Barème sur 20. Limites et continuité, dérivation et étude des fonctions.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer : \(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2 - 1}{x^2 + x}\) ; \(\lim_{x\to-\infty}(x^3 + 2x)\) ; \(\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}\).
Correction
\(2\) ; \(-\infty\) ; \(\frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} = x - 1\to1\).
Exercice 2 (14 pts)
Une entreprise fabrique \(x\) centaines d'objets (\(0\le x\le10\)). Son bénéfice (en milliers de DH) est \(B(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 5\).
- Calculer \(B'(x)\) et étudier son signe.
- Dresser le tableau de variations de \(B\) sur \([0\,;10]\).
- Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice ?
Correction
- \(B'(x) = -3x^2 + 18x - 15 = -3(x - 1)(x - 5)\) : négatif sur \([0\,;1]\), positif sur \([1\,;5]\), négatif sur \([5\,;10]\).
- \(B\) décroissante sur \([0\,;1]\), croissante sur \([1\,;5]\), décroissante sur \([5\,;10]\). \(B(0) = -5\), \(B(1) = -12\), \(B(5) = 20\), \(B(10) = -255\).
- Production de \(500\) objets ; bénéfice maximal \(20\,000\) DH.