Durée : 2 heures. Barème sur 20. Fonction exponentielle.
Exercice 1 (6 pts)
Résoudre : (a) \(e^{3x - 1} = e^{5}\) ; (b) \(e^{2x} = 4\) ; (c) \(e^x - 2 > 0\).
Correction
(a) \(3x - 1 = 5\), \(x = 2\). (b) \(x = \ln2\). (c) \(x > \ln2\).
Exercice 2 (14 pts)
Soit \(f(x) = (2 - x)e^x\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
- Résoudre \(f(x) = 0\) et étudier le signe de \(f\).
- Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\).
Correction
- \(f(x) = 2e^x - xe^x\to0\) en \(-\infty\) ; \(+\infty\times(-\infty)\) donne \(-\infty\) en \(+\infty\).
- \(f'(x) = -e^x + (2 - x)e^x = (1 - x)e^x\) : croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;+\infty[\), maximum \(f(1) = e\).
- \(f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) ; \(f > 0\) sur \(]-\infty\,;2[\), \(f < 0\) sur \(]2\,;+\infty[\).
- \(f(0) = 2\), \(f'(0) = 1\) : \(y = x + 2\).