Durée : 2 heures. Barème sur 20. Fonctions primitives et calcul intégral.
Exercice 1 (8 pts)
Déterminer une primitive de : \(f(x) = 4x^3 - 2x + 1\) ; \(g(x) = \frac{3}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(h(x) = e^{2x}\) ; \(k(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\).
Correction
\(F(x) = x^4 - x^2 + x\) ; \(G(x) = 3\ln x\) ; \(H(x) = \frac{e^{2x}}{2}\) ; \(K(x) = \ln(x^2 + 1)\).
Exercice 2 (12 pts)
- Calculer \(\int_0^2(3x^2 + 1)\,dx\) et \(\int_1^e\frac{2}{x}\,dx\).
- Le coût marginal d'une production est \(C_m(q) = 2q + 5\) (en milliers de DH, \(q\) en tonnes). Les coûts fixes valent \(20\). Déterminer le coût total \(C(q)\).
- Calculer la valeur moyenne de \(C_m\) sur \([0\,;10]\).
Correction
- \([x^3 + x]_0^2 = 10\) ; \([2\ln x]_1^e = 2\).
- \(C(q) = q^2 + 5q + 20\) (primitive de \(C_m\) avec \(C(0) = 20\)).
- \(\frac{1}{10}\int_0^{10}(2q + 5)\,dq = \frac{1}{10}[q^2 + 5q]_0^{10} = \frac{150}{10} = 15\).