Durée : 2 heures. Barème sur 20. Dénombrement et probabilités.
Exercice 1 (20 pts)
Dans une entreprise, \(60\,\%\) des employés sont des hommes. \(30\,\%\) des hommes et \(50\,\%\) des femmes ont un diplôme supérieur. On choisit un employé au hasard. On note \(H\) : « l'employé est un homme » et \(D\) : « l'employé a un diplôme supérieur ».
- Construire un arbre de probabilités.
- Calculer \(P(H\cap D)\) et \(P(D)\).
- Sachant que l'employé a un diplôme supérieur, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
- On choisit au hasard et de façon indépendante \(3\) employés. Quelle est la probabilité qu'exactement \(2\) d'entre eux aient un diplôme supérieur ?
Correction
- \(P(H) = 0{,}6\), \(P(\overline H) = 0{,}4\) ; \(P_H(D) = 0{,}3\), \(P_{\overline H}(D) = 0{,}5\).
- \(P(H\cap D) = 0{,}18\) ; \(P(D) = 0{,}18 + 0{,}4\times0{,}5 = 0{,}38\).
- \(P_D(\overline H) = \frac{0{,}2}{0{,}38} = \frac{10}{19}\approx0{,}53\).
- Loi binomiale \(n = 3\), \(p = 0{,}38\) : \(C_3^2\times0{,}38^2\times0{,}62 = 3\times0{,}1444\times0{,}62\approx0{,}269\).