Durée : 2 heures. Barème sur 20. Calcul intégral, équations différentielles.
Exercice 1 (10 pts)
- Calculer \(I = \int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx\) et \(J = \int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx\).
- Calculer l'aire du domaine limité par la courbe de \(f(x) = x^2\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).
- Calculer \(K = \int_1^2 x\ln x\,dx\).
Correction
- \(I = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac12\) ; \(J = [\sin x]_0^{\frac\pi2} = 1\).
- \(\int_0^3x^2\,dx = 9\) unités d'aire.
- Par parties (\(u = \ln x\), \(v' = x\)) : \(K = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^2 - \int_1^2\frac x2\,dx = 2\ln2 - \frac34\).
Exercice 2 (10 pts)
- Résoudre l'équation différentielle \((E) : y' + 2y = 0\), puis trouver la solution vérifiant \(y(0) = 3\).
- Résoudre \(y'' + 4y = 0\) et déterminer la solution telle que \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 2\).
- Résoudre \(y' = 2y + 4\).
Correction
- \(y = Ce^{-2x}\) ; \(y(0) = 3\) donne \(y = 3e^{-2x}\).
- \(y = A\cos2x + B\sin2x\) ; \(y(0) = A = 1\) ; \(y'(0) = 2B = 2\), \(B = 1\) : \(y = \cos2x + \sin2x\).
- Solution constante \(y = -2\) ; \(y = Ce^{2x} - 2\).