Durée : 2 heures. Barème sur 20. Fonction exponentielle.
Exercice 1 (6 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : (a) \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) ; (b) \(e^{x + 1}\ge e^{3 - x}\).
Correction
(a) Avec \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), \(X = 1\) ou \(X = 2\), donc \(x = 0\) ou \(x = \ln2\). (b) \(x + 1\ge3 - x\), soit \(x\ge1\).
Exercice 2 (14 pts)
Soit \(f(x) = (x - 1)e^x\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) ; interpréter la seconde.
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
- Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse \(1\).
- Calculer \(\int_0^1 f(x)\,dx\) à l'aide d'une intégration par parties.
Correction
- \(+\infty\) ; \(f(x) = xe^x - e^x\to0\) : l'axe des abscisses est asymptote en \(-\infty\).
- \(f'(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x\) : décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\), minimum \(f(0) = -1\).
- \(f(1) = 0\), \(f'(1) = e\) : \(y = e(x - 1)\).
- \(u = x - 1\), \(v' = e^x\) : \(\int_0^1(x - 1)e^x\,dx = \left[(x - 1)e^x\right]_0^1 - \int_0^1e^x\,dx = (0 + 1) - (e - 1) = 2 - e\).