Durée : 2 heures. Barème sur 20. Géométrie dans l'espace, probabilités.
Exercice 1 (10 pts)
Dans un repère orthonormé direct, \(A(1\,;0\,;1)\), \(B(2\,;1\,;0)\), \(C(0\,;1\,;2)\) et la sphère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4z + 1 = 0\).
- Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(1\,;0\,;2)\) et pour rayon \(2\).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire une équation du plan \((ABC)\).
- Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\). Conclure sur la position de \((S)\) et du plan.
Correction
- \((x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 1 + 4 - 1 = 4\) : centre \((1\,;0\,;2)\), rayon \(2\).
- \(\overrightarrow{AB}(1\,;1\,;-1)\), \(\overrightarrow{AC}(-1\,;1\,;1)\) : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (1\times1 - (-1)\times1\,;(-1)\times(-1) - 1\times1\,;1\times1 - 1\times(-1)) = (2\,;0\,;2)\). Plan : \(2x + 2z + d = 0\) avec \(A\) : \(d = -4\), soit \(x + z - 2 = 0\).
- \(d(\Omega, (ABC)) = \frac{|1 + 2 - 2|}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} < 2\) : le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(\sqrt{4 - \frac12} = \sqrt{\frac72}\).
Exercice 2 (10 pts)
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) boules noires. On tire simultanément \(3\) boules.
- Calculer la probabilité d'obtenir \(3\) boules rouges.
- Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.
- Soit \(X\) le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.
Correction
\(\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = 120\).
- \(\frac{C_4^3}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}\).
- \(1 - \frac1{30} = \frac{29}{30}\).
- \(P(X = 0) = \frac{C_6^3}{120} = \frac{20}{120}\) ; \(P(X = 1) = \frac{4\times15}{120} = \frac{60}{120}\) ; \(P(X = 2) = \frac{6\times6}{120} = \frac{36}{120}\) ; \(P(X = 3) = \frac{4}{120}\). \(E(X) = \frac{60 + 72 + 12}{120} = \frac{144}{120} = 1{,}2\).