Durée : 2 heures. Barème sur 20. Suites numériques, fonctions primitives.
Exercice 1 (12 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n + 1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4}\).
- Montrer par récurrence que \(0\le u_n < 1\) pour tout \(n\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante. En déduire qu'elle converge.
- On pose \(v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac15\).
- En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et \(\lim u_n\).
Correction
- \(u_0 = 0\). Si \(0\le u_n < 1\) : \(u_{n + 1} > 0\) et \(u_{n + 1} - 1 = \frac{u_n - 1}{u_n + 4} < 0\). Donc \(0\le u_{n + 1} < 1\).
- \(u_{n + 1} - u_n = \frac{-u_n^2 - 2u_n + 3}{u_n + 4} = \frac{(1 - u_n)(u_n + 3)}{u_n + 4} > 0\) : croissante et majorée par \(1\), donc convergente.
- \(u_{n + 1} - 1 = \frac{u_n - 1}{u_n + 4}\) et \(u_{n + 1} + 3 = \frac{5(u_n + 3)}{u_n + 4}\), donc \(v_{n + 1} = \frac{u_n - 1}{5(u_n + 3)} = \frac15v_n\).
- \(v_0 = -\frac13\), \(v_n = -\frac13\left(\frac15\right)^n\). De \(v_n(u_n + 3) = u_n - 1\) on tire \(u_n = \frac{1 + 3v_n}{1 - v_n}\). Comme \(v_n\to0\), \(\lim u_n = 1\).
Exercice 2 (8 pts)
Déterminer une primitive sur l'intervalle indiqué :
- \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(g(x) = (2x + 1)^4\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(h(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(k(x) = \cos x\sin^2x\) sur \(\mathbb{R}\)
Correction
- \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\). 2. \(G(x) = \frac{(2x + 1)^5}{10}\). 3. \(H(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 4. \(K(x) = \frac{\sin^3x}{3}\).