Durée : 2 heures. Barème sur 20. Limites et continuité, dérivation et étude des fonctions.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer : \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right)\) ; \(\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}\) ; \(\lim_{x\to1}\frac{x^3 - 1}{x - 1}\).
Correction
\(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac2x} + 1}\to1\). \(2\times\frac{\tan2x}{2x}\to2\). \(x^2 + x + 1\to3\).
Exercice 2 (14 pts)
Soit \(f(x) = x - 2\sqrt x\) définie sur \([0\,;+\infty[\).
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). Interpréter.
- Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter.
- Calculer \(f'(x)\) pour \(x > 0\) et dresser le tableau de variations.
- Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) a deux solutions que l'on déterminera.
- Montrer que la restriction \(g\) de \(f\) à \([1\,;+\infty[\) admet une fonction réciproque et préciser son ensemble de définition.
Correction
- \(f(x) = \sqrt x(\sqrt x - 2)\to+\infty\) ; \(\frac{f(x)}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt x}\to1\). (La courbe admet une branche parabolique de direction \(y = x\), puisque \(f(x) - x = -2\sqrt x\to-\infty\).)
- \(\frac{f(x) - f(0)}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt x}\to-\infty\) : \(f\) n'est pas dérivable à droite en \(0\) ; demi-tangente verticale.
- \(f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{\sqrt x}\) : \(f\) décroissante sur \([0\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\) ; minimum \(f(1) = -1\).
- \(\sqrt x(\sqrt x - 2) = 0\) : \(x = 0\) ou \(x = 4\).
- \(g\) est continue et strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\) : c'est une bijection de \([1\,;+\infty[\) sur \([-1\,;+\infty[\) ; \(g^{-1}\) est définie sur \([-1\,;+\infty[\).