Durée : 1 heure. Barème sur 20. Leçons 9 à 11 : triangle rectangle et cercle, théorème de Pythagore, projection orthogonale.
Exercice 1 (6 pts)
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) avec \(AB = 9\) cm et \(AC = 12\) cm.
- Calculer \(BC\).
- \(O\) est le milieu de \([BC]\). Calculer \(OA\). Justifier.
Correction
- Pythagore : \(BC^2 = 81 + 144 = 225\), \(BC = 15\) cm.
- Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit : \(OA = \frac{BC}{2} = 7{,}5\) cm.
Exercice 2 (6 pts)
Les triangles suivants sont-ils rectangles ? Justifier.
- \(EFG\) avec \(EF = 8\), \(FG = 15\), \(EG = 17\).
- \(MNP\) avec \(MN = 6\), \(NP = 7\), \(MP = 9\).
Correction
- \(17^2 = 289\) et \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\) : rectangle en \(F\).
- \(9^2 = 81\) et \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\neq81\) : pas rectangle.
Exercice 3 (4 pts)
\(C\) est un cercle de diamètre \([AB]\) et \(M\) un point de \(C\) distinct de \(A\) et \(B\). Quelle est la nature du triangle \(AMB\) ? Justifier.
Correction
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre, il est rectangle : \(AMB\) est rectangle en \(M\).
Exercice 4 (4 pts)
\(ABC\) est un triangle et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). On donne \(AB = 5\) cm et \(AH = 4\) cm. Calculer \(BH\).
Correction
\(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\) donc \(AHB\) est rectangle en \(H\) : \(BH^2 = 25 - 16 = 9\), \(BH = 3\) cm.