Durée : 2 heures. Barème sur 20. Calcul trigonométrique, suites numériques, limites.
Exercice 1 (6 pts)
- Montrer que \(\cos x + \sqrt3\sin x = 2\cos\left(x - \frac\pi3\right)\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x + \sqrt3\sin x = \sqrt2\).
Correction
- \(2\cos\left(x - \frac\pi3\right) = 2\left(\cos x\cdot\frac12 + \sin x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right) = \cos x + \sqrt3\sin x\).
- \(\cos\left(x - \frac\pi3\right) = \frac{\sqrt2}{2}\) : \(x - \frac\pi3 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi\), donc \(x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n}\).
- Montrer par récurrence que \(u_n > 0\) pour tout \(n\).
- On pose \(v_n = \frac{1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique.
- En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et la limite de \((u_n)\).
Correction
- \(u_0 = 1 > 0\) ; si \(u_n > 0\), alors \(u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n} > 0\).
- \(v_{n + 1} = \frac{1 + u_n}{u_n} = v_n + 1\) : arithmétique de raison \(1\), \(v_0 = 1\).
- \(v_n = n + 1\), \(u_n = \frac{1}{n + 1}\), \(\lim u_n = 0\).
Exercice 3 (6 pts)
Calculer : \(\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{x^2}\) ; \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\) ; \(\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\).
Correction
\(\frac12\) (limite usuelle). \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac1x} + 1}\to\frac12\). \(\frac{1}{\sqrt x + 1}\to\frac12\).